نموذج امتحان قدرات جامعة الكويت رياضيات: معادلة لوغاريتمية محلولة خطوة بخطوة

ستحصل على جذرين، لكن واحداً منهما فقط مقبول

أوجد قيمة ⁦x⁩:
⁦log₂(x) + log₂(x − 2) = 3⁩

أ) ⁦x = 4⁩ فقط
ب) ⁦x = −2⁩ فقط
ج) ⁦x = 4⁩ و ⁦x = −2⁩
د) لا يوجد حل

الجبر ليس هو الجزء الصعب في هذا السؤال. الفخ الحقيقي هو أن تتوقف فور حصولك على جذرين من المعادلة التربيعية.

الخطوة ١ — اكتب شرط المجال أولاً

لا يكون اللوغاريتم معرّفاً إلا إذا كان المقدار بداخله موجباً.

المعادلة الأصلية تحتوي على ⁦log₂(x)⁩ و ⁦log₂(x − 2)⁩، لذلك يجب أن يتحقق الشرطان معاً:

• ⁦x > 0⁩
• ⁦x − 2 > 0⁩، أي ⁦x > 2⁩

إذن شرط المجال هو:

⁦x > 2⁩

اكتب هذا الشرط بجانب الحل ولا تنسه.

الخطوة ٢ — ادمج اللوغاريتمين

الأساس واحد، لذلك:

⁦log₂(x) + log₂(x − 2) = log₂(x(x − 2))⁩

ومن ثم:

⁦log₂(x(x − 2)) = 3⁩

الخطوة ٣ — حوّل إلى الصورة الأسّية

إذا كان ⁦log₂(مقدار) = 3⁩، فهذا يعني أن المقدار يساوي ⁦2³⁩:

⁦x(x − 2) = 8⁩

الخطوة ٤ — حلّ المعادلة التربيعية

⁦x² − 2x − 8 = 0⁩
⁦(x − 4)(x + 2) = 0⁩

إذن:

⁦x = 4⁩ أو ⁦x = −2⁩

هنا يصبح الخيار ج مغرياً، لكن الحل لم ينتهِ بعد.

الخطوة ٥ — اختبر الجذرين باستخدام شرط المجال الأصلي

• ⁦x = 4⁩ يحقق ⁦x > 2⁩، لذلك هو مقبول.
• ⁦x = −2⁩ لا يحقق ⁦x > 2⁩، كما أن ⁦log₂(x)⁩ ستكون غير معرّفة.

الإجابة: أ — ⁦x = 4⁩ فقط

لماذا ظهر الجذر ⁦x = −2⁩؟

قاعدة دمج اللوغاريتمات صحيحة، لكن يجب استخدامها مع الاحتفاظ بشرط المجال الأصلي. إذا حللت المعادلة بعد الدمج ونسيت أن ⁦x⁩ يجب أن تكون أكبر من ⁦2⁩، فقد تعطيك المعادلة التربيعية قيمة إضافية.

نسمّيها جذراً دخيلاً: فهي تحقق إحدى المعادلات التي ظهرت أثناء الحل، لكنها لا تحقق المعادلة الأصلية.

العادة التي تحفظ لك الدرجة

في أي معادلة لوغاريتمية، اكتب شرط المجال قبل أن تبدأ الجبر. هنا لا يحتاج الأمر إلا إلى ثوانٍ:

⁦x > 2⁩

وعندما تحصل على جذرين، سيكون واضحاً أيّهما تقبل وأيّهما ترفض.